¡El Hotel Infinito!

Jefferson

Jefferson

Cuando estaba estudiando cálculo I en la facultad de Ciencias con Jefferson (¡larga vida a Jeff!), inició el curso con un cuento que siempre recordé como “El cuento de los hoteles infinitos”. Gracias a ello comprendí mucho sobre los infinitos y es la base que todo matemático debe tener.

He estado preparando algunas entradas sobre el conjunto de Cántor o cosillas raras que encuentro por ahí, pero como debo investigar y acomodar bien las cosas antes de publicarlas, me tomará un poco más de tiempo. Así que les dejo el cuento de los hoteles infinitos que a mí tanto me ha gustado y que espero sea de su agrado también.

El hotel extraordinario o el viaje mil uno de Ion el silencioso por Stanislaw Lem

Regresé a casa bastante tarde -la reunión en el club “Nebulosa de Andrómeda” se alargó hasta después de la media noche. Terribles pesadillas me acosaron cuando me dormí: soñé primero que había sido tragado por un enorme monstruo; luego, que estaba nuevamente en el planeta Durditov y no sabía cómo escapar de aquellas terribles máquinas que hay allí y que convierten a la gente en hexágonos; luego, … aunque generalmente se recomienda no mezclar a los ancianos con los jóvenes, una inesperada llamada telefónica me trajo a la realidad; era el profesor Tarantog, mi viejo amigo y compañero de viajes siderales.

-Un problema urgente mi querido Ion -escuché- los astrónomos han descubierto un extraño objeto en el cosmos: una misteriosa línea negra que une a una galaxia con otra, nadie sabe a dónde va. Ni siquiera los mejores telescopios o radio-telescopios, que informan desde los satélites artificiales, han revelado el misterio. Usted es nuestra última esperanza. Vuele inmediatamente en dirección a la Nebulosa ACD-1587.

Al día siguiente, saqué mi viejo fotón-cohete del taller de reparaciones, instalé en él el acelerador de tiempo y mi robot electrónico que conocía todos los idiomas del universo y todas las historias para viajeros siderales (estaba garantizado para mantenerme entretenido durante, por lo menos, una travesía de 5 años). Luego me dispuse a enfrentar el problema cuando lo tuviera a
mano.

Precisamente cuando el robot había agotado su dotación de cuentos y empezaba a repetirlos (no hay nada peor que escuchar a una máquina electrónica repetir por décima vez un viejo relato), el objetivo de mi viaje se delineó a lo lejos. Las galaxias que ocultaban la misteriosa línea habían quedado atrás y enfrente de mí estaba… el Hotel Cosmos.

Años atrás, yo les había construido a los exiliados del espacio, un pequeño planeta para que se refugiaran; pero lo perdieron y volvieron a vagar por el universo. Luego, decidieron abandonar la errabundez y construir un grandioso edificio -un hotel para todos los viajeros del universo… Este se extendía de un confín al otro, a través de casi todas las galaxias; y digo “casi todas” porque los exiliados habían desmantelado algunas galaxias deshabitadas a fin de proveerse material para la obra y habían desechado la idea de unirla también con algunas constelaciones bastante mal situadas.

El resultado de su trabajo fue maravilloso. El hotel tenía en cada cuarto, grifos de los que fluía plasma caliente y frío. Si se deseaba, las moléculas del propio cuerpo podían disgregarse a fin de alcanzar el máximo descanso durante la noche y, a la mañana siguiente, el portero se encargaría de unirlas de nuevo.

Pero lo más importante era que había un número infinito de habitaciones en el hotel. Los exiliados esperaban que así nadie tendría que volver a escuchar la desagradable frase que los había perseguido durante toda su época de errabundez: “agotado el alojamiento”.

A pesar de esto, no tuve suerte. Lo primero que vi al entrar al vestíbulo fue un letrero:

“Los delegados al Congreso Cósmico de Zoología se registran en el piso 127”.

Dado que hay un número infinito de galaxias y los asistentes a dicho Congreso provenían de todas ellas, resultó que todos los cuartos estaban ocupados; no había lugar para mí. El gerente trató, es verdad, de que alguno de los delegados aceptara compartir su habitación con otra persona, para que yo me hospedara en él, pero cuando me enteré de que uno de mis posibles compañeros de cuarto respiraba fluorina y otro consideraba normal mantener la temperatura de su ambiente a 860º, diplomaticamente denegué el placer de tener a tales vecinos.

Afortunadamente el director era un viejo exiliado que recordaba bien el favor que yo les había hecho a él y a sus camaradas; trataría de encontrar un lugar para mí en el hotel. De pasar la noche en el espacio sideral podía pescar una pulmonía. Después de meditar se volvió al gerente y le dijo:

– Póngalo en el número 1.
– ¿Y dónde voy a meter a la persona que está ahí?
– En el número 2, a la del 2 en el 3, a la del 3 en el 4 y así sucesivamente.

Sólo en este momento empecé a comprender las insólitas cualidades del hotel. Si hubiera habido sólo una cantidad finita de cuartos el huésped del último cuarto sería lanzado al espacio interestelar. Pero debido a que había una infinidad de habitaciones, se tenía lugar para todos y yo podía quedarme sin privar a ningún zoólogo de su habitación. A la mañana siguiente no me sorprendió el requerimiento de que me cambiara al cuarto número 1,000,000. Simplemente sucedía que algunos participantes en el Congreso habían llegado retrasados desde la Galaxia VSK-3472, y el personal del hotel debía proporcionar hospedaje a 999,999 invitados más. Pero cuando iba a pagarle al gerente el alquiler del tercer día de mi estadía en el hotel, casi me desmayo al ver desde su ventana una larga cola de gente que se extendía en línea recta hasta desaparecer en un lugar cerca de las Nubes de Magallanes.
Precisamente escuché una voz:

-Cambio dos estampillas de la Nebulosa de Andrómeda por una de Sirio.
-¿Quién tiene una estampilla de Sagitario del año 57 de la era cósmica?

Me volví perplejo y pregunté al administrador:

-¿Quién es esta gente?
-Los asistentes al Congreso Universal de Filatelistas.
– ¿Son muchos?
-Una infinidad, un representante de cada galaxia.
-Pero, ¿cómo encontrará cuarto para todos ellos?, recuerdo que los zoólogos no se van sino hasta mañana.
-No lo sé; voy a platicar unos minutos con el director acerca de esto.

Sin embargo, el problema ahora era mucho más difícil, aquellos “minutos” se convirtieron en una hora. Finalmente el gerente salió de la oficina del director y procedió a hacer los arreglos pertinentes. Primero pidió al huésped del 1 que se cambiara al 2. Esto me extrañó; yo sabía por experiencia propia que tal reacomodo dejaría vacante sólo una habitación, mientras que era
necesario dar alojamiento a nada menos que un conjunto infinito de filatelistas. Pero el gerente
continuó dando órdenes:

-Al huésped del 2 hay que ponerlo en el 4, al del 3 en el 6; en general, a la persona que ocupa el cuarto con el número n hay que pedirle que se mude al 2n.

Su plan se esclareció: de esta manera quedaría libre el conjunto de habitaciones numeradas. con un impar y en ellas podían quedar los filatelistas. Finalmente las recámaras pares estarían ocupadas por los zoólogos y las impares por los filatelistas (con respecto a mí, no digo nada; después de convivir amistosamente durante 3 días me habían concedido una representación honorífica en el Congreso, de manera. que tuve que abandonar mi cuarto a la vez que ellos y cambiarme del 1,000,000 al 2,000,000). Un filatelista amigo mío, que estaba en el lugar 574 de la cola, quedó en la recámara 1,147; en general el filatelista que hubiese estado en el n-èsimo quedaría en la estancia 2n-1.

Al otro día, la situación habitacional se descargó, el Congreso de Zoología había tocado a su fin y sus asistentes volvían a casa. Me mudé donde el director, en cuyo piso había una habitación vacante. Pero lo que es bueno para el hospedado, no es siempre del grado de la administración; días después mi amable anfitrión se veía triste.

-¿Cuál es el problema? –pregunté.
-La mitad de los cuartos está vacía. No alcanzaremos a cubrir el importe de la hipoteca.

Aunque yo no estaba seguro de qué hipoteca estaba hablando -pues, a pesar de todo, había cobrado el alquiler de un número infinito de cuartos le di un consejo:

-Bien, ¿por qué no coloca a los huéspedes más cerca unos de los otros? Acomódelos de tal manera que llenen todas las recámaras.

Esto era fácil de conseguir. Los filatelistas ocupaban sólo las habitaciones impares: 1, 3, 5, etc. Habría que dejar al del número 1 allí mismo, al del 3 pasarlo al 2, al del 5 al 3, al del 7 al 4, etc. Al final, todas las habitaciones estarán ocupadas nuevamente sin que hubiese llegado ningún viajero.
No obstante, esto no le devolvió la felicidad al director; los exiliados, insatisfechos de haber erigido el Hotel Cosmos, se habían dado a la tarea de construir -infatigables- un conjunto infinito de hoteles, cada uno de los cuales tenía una infinidad de recámaras. Para hacerlos, habían desmantelado tantas galaxias que el equilibrio universal estaba en peligro. Se les exigió que cerraran todos los hoteles, salvo el nuestro y volvieran a colocar el material usado en su lugar. 
Pero era difícil, estando llenos todos los hoteles, llevar a cabo esta orden. Era necesario trasladar a la infinidad de hospedados de la infinidad de hoteles a uno solo y éste ¡estaba lleno!

-¡Ya tengo suficiente! -gritó el director. Primero acomodé a un huésped extra en un hotel saturado; luego a otros 999,999; después, el colmo, a un conjunto infinito de éstos y ahora quieren que aloje a una infinidad de conjuntos infinitos de huéspedes. No, el hotel no es de hule; ¡que los pongan donde puedan!

Pero una orden es una orden y contaban con cinco días para resolver el embrollo: nadie trabajó en el hotel durante este lapso, todos estaban pensando cómo resolverlo. Se anunció un concurso, el premio era un viaje por alguna galaxia. Sin embargo, todas las propuestas de solución se desecharon por inútiles. Primero un cocinero del hotel hizo la siguiente: déjese al huésped del 1 en su cuarto, muévase al del 2 al 1,001, al del 3 al 2,001, etc., luego colóquese a los alojados en el 2º hotel en los números 2, en el 1,002, en el 2,002, etc.; los del 3º deberán quedar en e1 3, en el 1,003, en el 2,003, etc. El proyecto fue desechado porque no era del todo claro dónde se iba a meter a los huéspedes del hotel 1,001; -después de todo, los de los primeros 1,000 ya habían ocupado todos estos cuartos. Recordé entonces que cuando el servil senado romano ofreció al emperador cambiar el nombre del mes de septiembre por el de “Tiberius” en su honor (1os meses anteriores tenían ya apelativos de Julius y Augustus), Tiberius preguntó cáusticamente a los senadores “¿Y qué le van a ofrendar al décimo tercer César?”

El contador del hotel propuso luego una buena variante. Aconsejaba usar las propiedades de las progresiones geométricas y colocar al alud de gente que vendría, como sigue: los que ya están en nuestro hotel, quedarían en los números 2, 4, 8, 16, 32, etc. (éstos forman la progresión geométrica de razón 2); los del 2º, se acomodarían en los cuartos 3, 9, 27, 81, etc. (éstos son los términos de la progresión geométrica correspondiente a la razón 3). Propuso, en fin, que se colocara a las alojadas en los demás hoteles de manera similar. Pero el director del hotel le preguntó:

-¿Tendremos que utilizar la progresión de razón 4 para el 3er. hotel?
-Desde luego. -replicó el contador.
-Entonces no se ha resuelto nada; después de todo ya tendríamos a alguien de nuestro hotel en el cuarto número 4 y en el 16 y en el 64…así que, ¿dónde vamos a meter a la gente del 3er hotel?

Llegó mi turno; no en vano había estudiado matemáticas durante 5 años en la Academia Estelar.

-Use los números primos. Siga, para la gente de nuestro hotel y la del 2º, la propuesta del contador, luego meta a los del 3º en los números 5, 25, 125, 625, …, a los del 4º en los números 7, 49, 343, …
-Y, ¿no ocurrirá otra vez que algún cuarto tenga dos huéspedes? -:preguntó el director.
-No, si se toman dos números primos, ninguna de sus potencias enteras positivas pueden
ser iguales. Si p y q son primos, p ≠ q y, m y n son naturales, entonces p^mq^n

El director estuvo de acuerdo conmigo e inmediatamente halló una modificación a mi método en la que sólo se necesitaban los primos 2 y 3. Simplemente había que colocar al huésped del m-ésimo cuarto del n-ésimo hotel en la recámara 2^m3^n. Esto funciona porque si m ≠ p, o n ≠ q , entonces 2^m3^n2^p3^q . Así no habría habitación con 2 ocupantes.

Esta propuesta le gustó a todo mundo. Era una solución del problema que todos habían supuesto insoluble. Pero ni el director ni yo nos dimos cuenta de su precio: demasiados cuartos estarían desocupados si nuestras soluciones eran adoptadas (de acuerdo a la mía -aquellos tales como 6, 10, 12, y en general, todos los que tuvieran un número que no fuera potencia de primos y, de acuerdo con la del director todos los cuartos cuyos números no pudieran escribirse en la forma 2^m3^n ). La mejor solución la propuso uno de los filatelistas, el presidente de la Academia de Matemáticas de la Galaxia del Cisne.

El propuso que construyéramos una tabla, en cuyos renglones estuviera el número del hotel y en las columnas estuviera el número del cuarto. Por ejemplo, en la intersección del 4º renglón con la 6ª columna, aparecería la número 6 del 4º hotel. He aquí la tabla (realmente, solo la parte superior izquierda; para escribirla completa tendríamos que usar una infinidad de renglones y columnas):

-Y ahora, acomodemos a los que llegan de acuerdo a los cuadrados de la tabla –dijo el matemático filatelista.
-¿Cómo? -el director no entendía.
-Por cuadrados. En el número 1, ponga al huésped del (1,1), es decir, al del cuarto 1 del 1er hotel; en el número 2 ponga al del (1,2), es decir, al de la habitación 2 del 1er hotel; en el 3 ponga al huésped del (2,2), la recámara 2 del 2º hotel y en el número 4, el huésped del (2, l), el cuarto l del 2º hotel. Con esto habremos acomodado a los huéspedes del cuadrado superior izquierdo de lado 2. Después ponga al huésped del (1,3) en el número 5, al del (2,3) en el 6, al del (3,3) en el 7, al del (3,2) en el 8, al del (3,1) en el 9. (Estos cuartos llenan el cuadrado de lado 3). Y seguimos de esta manera:

-¿Habrá así realmente habitación para todos? -el director dudaba.
-Desde luego. De acuerdo con este plan, habremos colocado a los huéspedes de los primeros m cuartos de los primeros m hoteles, en los primeros m^2 cuartos del nuestro. Así, tarde o temprano cada huésped tendrá su habitación. Por ejemplo, si se trata del número 136 del hotel 217, alcanzará lugar en el piso 217. Es más podemos fácilmente imaginarnos en qué cuarto.

Tendrá el número 216^2 + 136. Más generalmente si ocupa el cuarto n del m-ésimo hotel entonces,
si n ≥ m él ocupará el numero (n-1)2 + m, y si n < m ocupará el número m^2-n+1.

Se reconoció que esta propuesta era la mejor -todos los huéspedes de todos los hoteles encontrarían lugar en el nuestro y ningún cuarto quedaría vacío. El matemático filatelista recibió el premio; un viaje por la Galaxia LCR267.

En honor de tan feliz solución, el director organizó una recepción a la que invitó a todos los huéspedes. También esto tuvo sus problemas. Los ocupantes de los cuartos pares llegaron media hora retrasados y cuando aparecieron se encontraron con que todas las sillas estaban ocupadas, aunque nuestro bondadoso anfitrión había dispuesto todo para que cada invitado tuviese su silla; tuvieron que esperar hasta que se hizo el reacomodo necesario para dejar vacantes el número necesario de asientos (desde luego, no fue necesario traer ninguna nueva silla al salón).

Más tarde, cuando se comenzó a servir el helado, se descubrió que cada invitado tenía 2 porciones
aunque de hecho, el cocinero sólo había preparado una por invitado. Espero que por ahora el
lector pueda imaginarse la razón de esto.

Al final de la recepción abordé mi fotóncohete y regresé a la tierra. Tenía que informar a los cosmonautas terrícolas del nuevo estilo que había en el cosmos. Además quería consultar algunos prominentes matemáticos y a mi amigo el profesor Tarantog acerca de las propiedades de los conjuntos infinitos.

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